Раздел «Ряды»

Задача №1

Исследовать сходимость ряда .

Решение. Пусть х≠πk (k є Z) и ряд сходится. Тогда должно выполняться необходимое условие сходимости ряда:

(х≠πk) (1)

Отсюда следует, что т.е.

(2)

С учетом (1) из (2) следует, что

(х≠πk) (3)

Из (1) и (2) следует, что

но это противоречит тождеству Это противоречие следует из предположения сходимости ряда при х≠πk (k є Z) и равенства (1). Значит, если х≠πk, то данный ряд расходится.

Если же х=πk (k є Z), то при k є Z и сумма такого ряда равна нулю.

Задача №2 Вычислить .

Решение. Дважды проинтегрировав степенной ряд

,

получим

,

, ,

откуда следует, что

.

Подставляя , получаем

.

Задача №3

Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда имеет вид

(n=1, 2, …)

представим получаем

и т.д.

Получаем Но так как ряд — сходится (беск. убыв. геом. прогрессия), то по теореме сравнения сходится и данный ряд.

Задача №4

Если в гармоническом ряде

вычеркнуть все члены, знаменатели которых, записанные в десятичной системе, содержат цифру 9, то оставшаяся часть ряда будет сходящейся.

Решение.

Для определения тех неотрицательных целых чисел, расположенных между и , которые записываются лишь при помощи цифр , распределяем эти 9 цифр между местами всеми возможными способами. Этим путем получается в совокупности чисел. Пусть теперь есть неотрицательное число, записываемое без цифры 9. Если , то , следовательно,

.

Или проще: число чисел, записываемых без цифры 9 и заключенных между и , равно . Следовательно, сумма интересующей нас части гармонического ряда меньше чем

Задача №5

Доказать, что

Решение.

Полагаем, что , тогда . Для положительных неравенство выполняется тогда и только тогда, когда , т.е. меньше положительного корня квадратного уравнения . Отсюда вытекает, т.к. , что , откуда заключаем, что существует и ; далее , т.е. . Аналогично определяется значение непрерывной дроби, где рекуррентной формулой будет:

.

Задача №6 Найти разложение в ряд Фурье функции , если .

Решение. — четная, ,

.

, если .

, если .

, если .

, если .

Тогда , .

Задача №7 Найти сумму ряда

Решение. , .

;

;

, тогда

.

;

;

;

Тогда

Задача №8 Найдите сумму ряда , если известно .

Решение.

;

;

;

, тогда .

тогда

.

Задача №9 Найти разложение в ряд Фурье функции , .

Решение.

— нечетная,

, если

, если

, если

, если .

Тогда ;

, то

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *